[중1-1] 소인수분해 문제 : 약수의 개수

 

안녕하세요?

이번에는 "약수의 개수를 구하시오" 라는 문제를 풀어보겠습니다.

24의 약수의 개수를 한 번 구해볼까요?
앞에서 약수의 특징 중 "쌍을 이룬다" 는 특징을 기억한다면, 약수를 모두 계산할 수 있습니다.

24의 약수

하지만 이렇게 구하는 방식은 약수의 개수가 많은 경우는 모두 계산하기가 쉽지가 않습니다.

 

약수의 개수를 구하기 위한 더 좋은 방법은 없을까요?

24를 소인수분해 해보면, \(2^3\) × 3 가 됩니다.

 

혹시 소인수분해가 기억이 안 난다면 아래 글을 참조해주세요.

 

[중1-1] 소인수분해 : 연습

 

소인수 분해 결과를 보면 24는 '2' 가 3개, '3' 이 1개 모인 수라고 할 수 있습니다.
이걸 카드로 나타내보면, '2' 카드 3장과 '3' 카드 1장으로 24가 만들어진다고 해볼께요.

 

24를 만드는 숫자 카드

 

이 카드들을 아무렇게나 뽑아서 곱하면, 24의 약수가 된답니다.

카드를 모두 뽑으면 24가, 하나도 뽑지 않으면 1이 된다고 하고요.

'2'카드 1장만 뽑으면 2가, '2'카드 1장과 '3'카드 1장을 뽑으면 6이 됩니다.

 

그럼, 카드를 조합하는 방법은 몇 가지가 있나요?
'2'카드는 0개, 1개, 2개, 3개를 선택할 수 있고, '3'카드는 0개, 1개를 선택할 수 있습니다.
이렇게 여러가지 선택지를 계산해야 하는 경우는, 아래와 같이 "표를 사용해서 정리"할 수가 있어요.

 

'2'카드 (장)	'3'카드 (장)	카드를 곱한 숫자
0	0	1
1	0	2
2	0	4
3	0	8
0	1	3
1	1	6
2	1	12
3	1	24

 

약수의 개수가 8개인 것을 확인할 수 있지요?

약수를 모두 계산하지 않고, 개수만 계산하기 위해서는, 각 숫자 카드의 개수에 1씩 더해서 곱해주면 됩니다.

각 숫자 카드를 뽑지 않는 경우도 있기 때문에 1을 더하는 거지요.

이 과정을 간단히 설명하면 아래와 같이 나타낼 수 있어요.

24의 약수의 개수 구하기

그럼 아래 연습 문제를 풀어보면서, 배운 것을 정리해보겠습니다.

 

[문제] 다음에 나오는 수의 약수의 개수를 구해보세요.

96

120
256

 

정답은 아래에 있습니다.

96 = \(2^5\) × 3 이므로,  6×2=12 개

120 = \(2^3\) × 3​ × 5 이므로, 4×2×2=16 개

256 = \(2^8\) 이므로, 9 개 (=8+1)

 

소인수분해 문제를 풀면서,

궁금한 점이나 설명이 필요한 문제가 있으면 댓글 남겨 주세요.