열공남주

안녕하세요?
오늘은 계산의 순서에 대해서 이야기해보려고 합니다.

먼저 퀴즈부터 풀어보겠습니다.
아래 식을 계산하면 몇이 될까요?
\( 2 + 2 × 2 = ? \)
1) 8
2) 6

정답은 2번 6 입니다. 계산의 순서가 곱셈 → 덧셈이기 때문입니다.
그렇다면, 아래는 어떤가요?

\( (2 + 2) × 2 = ? \)
1) 8
2) 6

이번 정답은 1번 8 입니다. 괄호 → 곱셈 → 덧셈 순으로 계산해야 하기 때문이지요.

계산의 순서는 "괄호 → 지수(제곱) → 곱하기 → 더하기" 순으로 이루어집니다.
같은 곱하기/더하기가 있다면 왼쪽 → 오른쪽으로 계산을 하고요.

영미권에서는 BODMAS (Brackets, Order, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) 라고 배우는데요.
우리말로 "괄제곱더" 라고 외우면 좋을 것 같습니다.
여기서 나눗셈은 곱셈과 같고 (역수를 곱한다),
뺄셈은 덧셈과 같으니 (음수를 뺀다),
따로 분리하지 않겠습니다.
혹시 잘 모르시면 이전 글을 참조해보시면 되겠습니다.
2022.04.24 - [중학수학] - [중1-1] 정수와유리수: 덧셈과 뺄셈
2022.05.08 - [분류 전체보기] - [중1-1] 정수와유리수: 곱셈과 나눗셈

그리고, 아래 식의 지수가 나오는 계산은 틀리기 쉬우니, 꼭 기억해두시길 바랍니다.
\( -2^2 = -4 \)
\( (-2)^2 = 4\)

그럼, 연습문제입니다. (정답 접은 글을 펴서 확인해보세요.)
\( 8 - 3^2 + 2 × (4 - 6) = ? \)

다양한 문제를 풀면서 연습을 많이 해야 실수를 줄일 수 있는 단원이니,
많은 문제를 풀어보시면 좋겠습니다.

안녕하세요?
정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈을 잘 하기 위해서는 먼저 자연수의 곱셈과 나눗셈을 능숙하게 할 수 있어야 해요.
혹시 아직 자연수의 곱셈/나눗셈이 능숙하지 않다면, 소인수분해를 통해 연습을 많이 해보시길 권장합니다.

자연수의 곱셈/나눗셈이 능숙하다면, 이제 음수가 포함된 곱셈/나눗셈을 배울 차례에요.
곱셈의 기본부터 살펴 보겠습니다.
곱셈의 기본은 덧셈이지요.

\(3 × 1 = 3 ( = 3) \)
\(3 × 2 = 6 ( = 3 + 3) \)
\(3 × 3 = 9 ( = 3 + 3 + 3) \)
\(3 × 4 = 12 ( = 3 + 3 + 3 + 3) \)

위에서 봤던 것처럼 수가 곱하는 수가 1씩 늘어나면 3씩 증가하고,
곱하는 수가 1씩 줄어들면 3씩 줄어드는 것을 볼 수 있습니다.
그럼, 0, -1, -2 를 곱했을 때도 예상해볼 수 있겠죠?

\( 3 × 0 = 0 ( = 0) \)
\( 3 × (-1) = (-3) ( = 0 - 3) \)
\( 3 × (-2) = (-6) ( = (-3) - 3) \)

이를 수직선에서 살펴보면 아래와 같습니다.

즉 음수의 곱셈은 부호를 바꾸어 계산하면 됩니다.

그리고 위의 특징은 순서를 바꾼 계산에서도 똑같이 적용됩니다.
\( (-3) × 0 = 0 \)
\( (-3) × 1 = (-3) \)
\( (-3) × (-1) = 3 \)

음수 × 음수 = 양수가 된다는 것에 주의하세요.

분수의 곱셈도 같은 방식입니다.
아래와 같은 분수의 곱셈 (분모는 분모끼리 곱하고, 분자는 분자끼리 곱합니다) 에서,
\[\frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1×1}{2×3} = \frac{1}{6} \]
부호만 계산해서 넣어 주면 되겠습니다.

\[\frac{1}{2} × (- \frac{1}{3} ) = - \frac{1}{6} \]
\[(- \frac{1}{2} ) × \frac{1}{3} = - \frac{1}{6} \]
\[(- \frac{1}{2} ) × (- \frac{1}{3} ) = \frac{1}{6} \]

마지막으로, 나눗셈입니다. 나눗셈은 역수를 구하면 곱셈으로 변환할 수 있으니,
곱셈으로 변환 후에 계산하면 되겠습니다.
아래의 예시를 봐주세요.

\[3 ÷ 2 = 3 × \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]
\[\frac{1}{3 }÷ 2= \frac{1}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \]
\[\frac{2}{3} ÷ \frac{2}{3} = \frac{2}{3} × \frac{3}{2} = 1 \]
\[3 ÷ \frac{2}{3} = 3 × \frac{3}{2} = \frac{9}{2} \]

부호의 계산은 앞의 곱셈의 경우와 동일합니다.

\[3 ÷ (-2) = 3 × (- \frac{1}{2} )= (- \frac{3}{2} ) \]
\[(- \frac{1}{3} ) ÷ (-2) = (- \frac{1}{3} ) × (- \frac{1}{2} ) = \frac{1}{6} \]
\[(- \frac{2}{3} ) ÷ \frac{2}{3} = (- \frac{2}{3} ) × \frac{3}{2} = (-1) \]
\[3 ÷ (- \frac{2}{3} ) = 3 × (- \frac{3}{2} ) = (- \frac{9}{2} ) \]

부호가 들어가면서 신경 써야 할 것이 늘었죠?
계산 과정에 부호를 빠뜨리지 않도록 꼼꼼히 과정을 기재해야 실수하지 않으니, 많은 연습이 필요한 단원입니다.

안녕하세요.
지난 시간에 덧셈과 뺄셈을 배웠는데,
정수로만 계산을 하니 좀 부족했었던 것 같아요.
그래서! 이번엔 분수의 덧셈을 해보겠습니다.
(뺄셈은 덧셈과 같으니 따로 설명하지 않을께요.
자세한 내용은 이전 설명을 참조하세요 )

분수의 덧셈은 알고 계시겠지만 통.분.을 하면 됩니다.
분모를 통일시키는 건데요, 어떤 의미가 있는지 같이 살펴볼께요.

분수는 피자 조각으로 표현하면 참 좋은데요.
피자 1/2 조각과 1/3 조각,
\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{3}\) 을 표현하면 아래와 같습니다.

그런데 2등분과 3등분 조각이 서로 다르니, 계산이 안 되지요?
그래서 같은 크기로 잘게 나누어줍니다.

이제 크기가 같아졌으니, 정수의 덧셈처럼 계산해주면 됩니다.
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \]

\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{4}\) 은 어떻게 계산하면 될까요?
8조각으로 잘게 나누는 것보다는, 4조각으로 나누어도 같은 크기로 계산할 수 있겠지요?
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

따라서 통분을 할 때는 이와 같이 최소공배수를 사용합니다.
두 수 이상의 차이점을 포함한, 가장 작은 공통수를 찾는거지요.

최소공배수에 대해서는 여기를 참조하세요.

통분이 끝난 분수의 덧셈과 뺄셈은 정수의 덧셈/뺄셈과 크게 다르지 않습니다.
음수나 뺄셈도 아래와 같이 통분을 하고, 분자에 대한 덧셈/뺄셈을 하시면 되겠습니다.
마지막에는 기약 분수로 표시하는 것을 잊지 마시고요.

\[\frac{3}{8} - \frac{1}{4} = \frac{9}{24} + (- \frac{6}{24} ) = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \]
\[\frac{5}{6} - \frac{9}{10} = \frac{25}{30} + (- \frac{27}{30} ) = (- \frac{2}{30} ) = (- \frac{1}{15} ) \]

다음은 곱셈과 나눗셈에 대해서 알아보겠습니다.

안녕하세요.

오늘은 덧셈과 뺄셈에 대해서 알아볼께요.
덧셈과 뺄셈은 이미 잘 알고 있을 거에요.
지금까지는 "양수 + 양수" 또는 "양수 - 양수" 로만 계산을 했었지만,
이제 음수도 배웠으니 다시 복습을 해보겠습니다.

음수는 양수의 반대 개념이니, 음수의 덧셈은 빼기와 같은 개념입니다.
예를 들어,
5 + (-3) = 5 - 3 = 2 가 됩니다.
수직선에서 다시 한 번 확인해보겠습니다.
수직선을 게임판이라고 상상해볼께요.
주사위를 던져 나온 수만큼 앞으로 (덧셈) 또는 뒤로 (뺄셈) 이동하는 겁니다.

1. 5칸 앞으로 이동
2. (-3)칸 앞으로 이동 = 3칸 뒤로 이동

그럼 음수의 뺄셈은 어떻게 될까요?
뺀다는 것은 작아지는 방향이지만, 음수를 뺀다고 하면 반대로 커지는 방향이 되겠지요?

5 - (-3) = 5 + 3 = 8

1. 5칸 앞으로 이동
2. (-3)칸 뒤로 이동 = 3칸 앞으로 이동

이렇게 음수의 뺄셈은 덧셈으로 바꾸어 계산하시면 되겠습니다.

음수의 덧셈과 뺄셈은 익숙해지도록 연습을 꼭 하셔야 하는데요,

연습할 때에는 뺄셈을 덧셈으로 바꾸어 계산하는 방법을 연습하시길 추천드립니다.

예를 들면 아래 식처럼요.
5 - 3 - (-1) = 5 + (-3) + 1 = 3

이렇게 연습하는 이유는 계산을 좀 더 쉽고 편하게 하기 위해서인데요.

덧셈은 계산의 순서를 바꾸어도 같은 결과이지만 (1 + 4 = 4 + 1)

뺄셈은 계산의 순서를 바꾸면 결과가 달라지기 때문입니다 (4 - 1 ≠ 1 - 4)

덧셈처럼 계산의 순서를 바꾸어도 같은 결과가 되는 것을, 교환 법칙이라고 합니다.

1 + (-4) = (-4) + 1 = (-3)    : 덧셈의 교환 법칙
1 - 4 = (-3)   /  4 - 1 = 3    : 뺄셈은 교환 법칙이 적용되지 않습니다.

이렇게 교환 법칙이 성립되는 경우에는 계산 순서를 바꾸어도 같은 결과를 얻기 때문에, 쉽고 빠르게 계산할 수 있습니다.
문제를 하나 풀어볼까요?
-10 - (-11) + 5 - 6 = ?

문제를 풀면서, 궁금한 점이나 어려운 부분이 있으면 댓글 남겨주세요.

안녕하세요?

오늘은 양수와 음수, 그리고 정수와 유리수를 수직선 위에 그려보면서, 개념을 정리하도록 할께요.
먼저 선을 하나 옆으로 쭉 긋고, 양쪽에 화살표를 그려서 직선을 만들겠습니다.
(화살표는 "선이 끝없이 이어지지만, 여기서 생략한다"는 의미로 보시면 되겠습니다.)

그러고 보니, 옆으로 긋는데 왜 수평선이 아니고, 수직선인지 궁금할 수 있겠네요.
좋은 질문인데요, 궁금한 분은 한 번 열어보세요.

바르게 그린 수직선의 가운데에는 '양수도 음수도 아닌 중심'이라는 의미로 '0' 을 표기해보고요.
오른쪽에 양의 정수, 왼쪽에는 음의 정수를 표기해보겠습니다.
오른쪽, 왼쪽의 구분은 특별한 이유가 있는 것은 아니고, 수학자들의 오래된 약속입니다.
이 약속에 따라 오른쪽 수는 크고, 왼쪽 수는 작다고 표현합니다.

-5 < -3
-2 < 0
0 < 4

그런데 정수만 표시하면 징검다리처럼 숫자들 사이가 비워지게 되는데요,

이 사이는 분수의 표현으로 채울 수가 있습니다.

예를 들어 \(\frac{1}{2}\) 은 0과 1사이를 둘로 나누어 그 가운데에 쓰면 되겠지요?

(피자 1판을 둘로 나누었을 때 1조각만큼의 크기입니다.)

음수인 경우도 마찬가지입니다.

\(-\frac{1}{3}\)은 -1과 0 사이를 3등분하여 0과 가까운 쪽이 \(-\frac{1}{3}\),

-1과 가까운 쪽이 \(-\frac{2}{3}\) 가 됩니다.

음수는 숫자의 크기가 커질수록 더 작아지기 때문입니다.

(음수는 양수와 반대 개념으로 보이지 않는 것을 표현하는 방법이라는 지난 내용을 참조하세요)

분수를 만드는 방법은 무수히 많기 때문에, 각 정수들 사이에는 무한히 많은 분수들이 있습니다.

물론 정수도 분수로 표현 가능한 "유리수"에 포함되기 때문에, 수직선 위에는 무수한 유리수가 있다고 할 수 있습니다.

지금까지 배운 양수, 0, 음수, 그리고 정수와 유리수를 한 번 정리해보겠습니다.

물건 정리를 할 때처럼 배운 개념들을 박스 안에 넣어 보도록 할께요.

정수는 유리수에 포함되는 개념이니 유리수 박스 안에 정수 박스를 만들어 보겠습니다.

그런데, 정수 안에는 양의 정수, 0, 음의 정수가 있으니, 각각 칸막이를 나누어 분류하면 더 좋겠지요?

유리수에도 양의 유리수와 음의 유리수가 있으니, 양수와 음수의 영역을 구분하여 표시해보겠습니다.

이렇게 해서, 정수와 유리수, 양수와 음수, 그리고 0에 대해서 모두 알아보았습니다.

이제는 계산을 연습해봐야 할텐데요,

개념을 충분히 숙지하지 못했다면,

여러가지 계산 문제를 풀어보면서 다시 한 번 개념을 정리해도 좋겠습니다.

다음 시간에는 유리수의 계산 문제를 풀어보면서 숫자들과 더 친해지도록 할께요.

위 내용 중이나 문제를 풀면서 궁금한 점이 있으면 글을 남겨주세요.

안녕하세요?

지난 번에는 양수와 음수, 그리고 0에 대한 설명을 했었어요.

오늘은 정수와 유리수를 구분해 볼께요.

우선 정수는 잘 알고 있는 자연수 (1, 2, 3,...), 0, 그리고 음의 부호를 붙인 자연수 (-1, -2, -3,....) 와 같은 수를 말합니다.

양수와 음수의 개념을 이용해서 양의 정수, 0, 음의 정수로 구분하기도 해요.

유리수는 분수로 표현할 수 있는 수를 말하는데요,

여기서 분수는 수를 나눈다는 뜻입니다.

맛있는 피자를 상상해보면서 분수를 설명해 볼께요.

(분수가 어렵게 느껴지면, 꼭 피자를 떠올려보세요!)

피자 1판을 양의 정수 "1" 이라고 하면,

1판을 8조각으로 나누었을 때, 한 조각은 \(\frac{1}{8}\)이 됩니다.

8조각 중 2조각은 \(\frac{2}{8}\)이 되는데,

이 때 두 조각의 크기는 4조각으로 나누었을 때의 1조각과 같습니다. (\(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\))

지금까지 배운 수들은 대부분 분수로 표현되기 때문에,

그럼 (유리수 = 수 전체) 이지 않나? 하고 궁금해할 수 있는데요.

예전 기억을 떠올려보면, 유리수가 아닌 수를 한 번 배운 적이 있습니다.

원의 둘레나 넓이를 계산할 때 사용한 원주율(π)가 기억나시나요?

3.1415926538.... 끝없는 숫자가 나오면서 분수로 표현할 수 없었던 이 원주율은 유리수가 아닌 수 중 하나랍니다.

그럼, 여기서 한 번 생각해 볼께요.

정수는 유리수일까요? 아닐까요?

정수는 유리수에 포함됩니다. 이유는 아래를 펼쳐 보세요.

단, 유리수에서 신경써서 주의해야 할 점이 하나 있는데요.

분모가 0인 경우는 유리수로 인정되지 않습니다.

(피자를 0조각으로 나눈다고 생각해보세요. 어떻게 나누어야 할까요?)

다음은 정수와 유리수, 그리고 양수/음수/0을 수직선 위에 표현해보면서 개념을 정리해보도록 할께요.

안녕하세요.

우리가 어떻게 처음 숫자의 개념을 익혔는지 기억이 나시나요?
아주 어렸을 때, 우리는 손가락으로 수를 배웠어요.
손가락이 몇 개인지 (하나, 둘, 셋, ...),

몇 밤을 자면 생일이 되는지, 손가락으로 세면서 숫자의 개념을 익히고,
그리고 나서는 손가락 수보다 많은 큰 수들에 대해서 배우기 시작했어요.
이런 수들을 자연수라고 표현합니다.
앞에서 배운 소인수분해에 나온 수들도 모두 자연수이지요.

그런데, 세상에는 자연수로 표현되지 않는 수들도 있어요.
예를 들어, 사탕 2개를 가지고 있으면 "2"라는 숫자를 사탕 2개로 표현할 수 있지만,
잃어버린 사탕 2개는 어떻게 표현해야 할까요?

눈에 보이지 않지만 표현해야 하는 숫자들에 대해,
"음수" 라는 개념과 "0" 이라는 숫자가 발명이 되었습니다.
아무것도 없다는 뜻의 "0", 그리고 있다/가진다의 반대 개념이 되는 "음수"는 매우 중요한 개념입니다.

양은 따뜻하고(陽), 긍정적인 (Positive) 의미를,
음은 차고(陰), 부정적인 (Negative) 의미를 표현하는 말입니다.
우리나라 태극기의 가운데에 있는 태극 문양에도 음과양이 나타나 있어요.

그리고 음과 양의 한가운데에 있는 숫자가 바로 "0" 이에요.
굉장히 대단한 숫자라는 느낌이 들지요? 수학에서도 0을 보면 참 즐거워요.
0을 더하거나 빼는 것은 아무 것도 더하거나 빼지 않아도 되고,
아무리 크고 복잡한 수도 0을 곱하면 0이 되어버리니, 계산이 참 즐거워지는 수에요.

양수는 숫자 앞에 "+" 를 붙여서 나타내고,
음수는 숫자 앞에 "-" 를 붙여서 나타냅니다.
"0" 은 앞에 아무것도 붙이지 않고요.
다만, 양수는 생활 속에 많이 표현되는 수이기 때문에 "+" 기호는 생략할 수 있어요.

오늘 나의 기분은 양수인가요? 음수인가요? 아니면 "0"인가요?
주변에 양수와 음수로 나타낼 수 있는 것들을 찾아보고, 숫자와 친해지면 좋겠습니다.

다음은 정수와 유리수에 대해서 살펴보겠습니다.

안녕하세요

소인수분해와 최대공약수, 최소공배수를 정리해보겠습니다.

중1 수학 첫 단원인만큼 이 단원은 숫자들과 인사를 하는 단원이라고 생각을 해요.

소인수 분해를 통해서 숫자들의 고유한 특징(소수)을 알아보고,

숫자들의 공통점 (최대공약수) 를 구해보기도 하고,

숫자들의 차이점 (최소공배수) 를 구해보기도 하는 시간입니다.

앞으로 소인수분해의 개념은 계속해서 나오니 반드시 익히고 넘어가야 하는 단원입니다.

특히 곱셈/나눗셈의 연산이 충분히 연습되지 않았다면 문제를 풀기가 어려우니,

생활 속의 숫자들과 많이 친해지면서 연산력을 길러보시기 바랍니다.

단원 마무리로 많이 어려워하는 톱니 바퀴 문제를 풀어 보도록 할께요.

[문제] 톱니 개수가 36개, 54개인 두 톱니 바퀴 A, B가 맞물려 돌아가고 있습니다.

두 톱니 바퀴가 회전하기 시작해서 어떤 톱니에서 맞물린 후,

처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물릴 때까지 A, B는 각각 몇 번 회전해야 하는지 구하고,

그 풀이 과정을 쓰세요. 

[해설]

수학 문제가 어렵게 느껴지는 이유 중 대부분은, 문제에서 설명하는 조건이 떠오르지 않기 때문입니다.

톱니 바퀴 문제라면 우선 톱니 바퀴 그림을 찾아봐야겠지요?

상황을 좀 더 이해학 위해, 잠시 그림을 정지시키고 각 톱니에 숫자를 적어볼까요?

(매번 이렇게 할 필요는 없지만, 상상을 구체화할수록 나중에 문제 푸는데 많은 도움이 됩니다.)

이제 톱니가 도는 모습을 상상해볼께요.

빨1 - 녹1

빨2 - 녹2, ...

빨14 - 녹14

빨1 (1바퀴) - 녹15, ...

빨14 - 녹28,

빨1 (2바퀴) - 녹1(1바퀴), ...

그럼 빨간색 톱니바퀴는 2바퀴, 녹색 톱니바퀴는 1바퀴를 회전했을 때 다시 만나게 되는 것을 알 수 있겠지요?

각 톱니의 숫자만 가지고 문제를 풀 수 없을지, 소인수 분해를 통해서 살펴보도록 하겠습니다.

14 = 2 × 7

28 = 2 × 2 × 7 

최대공약수는 14 (2×7), 최소공배수는 2×2×7 (28) 이 됩니다.

두 톱니바퀴의 가장 큰 공통점은 14이므로 톱니는 최대 14개씩 만나면서 맞물려 돌아갑니다.

빨1-녹1 이후 14개가 지나면 빨1(1바퀴)-녹15가 되지요?

하지만, 빨1 - 녹1에서 만난 이후에 다시 빨1 - 녹1에서 만나는 조건이 되려면,

차이점까지 포함한 최소공배수인 28을 기준으로 생각해야 합니다.

톱니 28개는 빨간 톱니 바퀴 (14개) 기준으로는 2바퀴, 녹색 톱니 바퀴 (28개) 기준으로는 1바퀴이니,

빨간 톱니 바퀴 2바퀴, 녹색 톱니 바퀴 1바퀴라고 답을 쓸 수 있겠네요.

다시 문제로 돌아와서 36개와 54개인 톱니 문제는 그럼 어떻게 되나요?

[풀이]

36 = \(2^2\) × \(3^2\)

54 = 2 × \(3^3\)

최대 공약수 : 2 × \(3^2\) = 18

최소 공배수 : \(2^2\) × \(3^3\) = 108

최대 18개씩 만나면서 맞물려 돌아가는 톱니이지만,

다시 처음 위치에서 만나기 위해서는 108개가 지나야 한다고 볼 수 있겠습니다.

그럼, A 톱니 바퀴 (36개) 는 3바퀴, B 톱니 바퀴 (54개) 는 2바퀴를 돌아야 다시 만날 수 있겠군요.

자주 나오는 유형의 문제이니 외워서 푸는 방법도 있겠지만, 그러면 나중에는 외워야 할 양이 너무 많아지게 됩니다.

문제에서 설명하는 상황과 조건을 재밌게 상상해 보시고 여러분만의 이야기와 방식으로 재미있게 풀다보면,

10년, 20년이 지나도 풀 수 있는 실력이 길러질 거에요.

문제를 풀다가 물어보고 싶거나, 공유하고 싶은 여러분만의 풀이 방법이 있다면 남겨주세요.

다음은 정수와 유리수에 대해서 알아보겠습니다.

안녕하세요?

이번에는 "약수의 개수를 구하시오" 라는 문제를 풀어보겠습니다.

24의 약수의 개수를 한 번 구해볼까요?
앞에서 약수의 특징 중 "쌍을 이룬다" 는 특징을 기억한다면, 약수를 모두 계산할 수 있습니다.

하지만 이렇게 구하는 방식은 약수의 개수가 많은 경우는 모두 계산하기가 쉽지가 않습니다.

약수의 개수를 구하기 위한 더 좋은 방법은 없을까요?

24를 소인수분해 해보면, \(2^3\) × 3 가 됩니다.

혹시 소인수분해가 기억이 안 난다면 아래 글을 참조해주세요.

소인수 분해 결과를 보면 24는 '2' 가 3개, '3' 이 1개 모인 수라고 할 수 있습니다.
이걸 카드로 나타내보면, '2' 카드 3장과 '3' 카드 1장으로 24가 만들어진다고 해볼께요.

이 카드들을 아무렇게나 뽑아서 곱하면, 24의 약수가 된답니다.

카드를 모두 뽑으면 24가, 하나도 뽑지 않으면 1이 된다고 하고요.

'2'카드 1장만 뽑으면 2가, '2'카드 1장과 '3'카드 1장을 뽑으면 6이 됩니다.

그럼, 카드를 조합하는 방법은 몇 가지가 있나요?
'2'카드는 0개, 1개, 2개, 3개를 선택할 수 있고, '3'카드는 0개, 1개를 선택할 수 있습니다.
이렇게 여러가지 선택지를 계산해야 하는 경우는, 아래와 같이 "표를 사용해서 정리"할 수가 있어요.

약수의 개수가 8개인 것을 확인할 수 있지요?

약수를 모두 계산하지 않고, 개수만 계산하기 위해서는, 각 숫자 카드의 개수에 1씩 더해서 곱해주면 됩니다.

각 숫자 카드를 뽑지 않는 경우도 있기 때문에 1을 더하는 거지요.

이 과정을 간단히 설명하면 아래와 같이 나타낼 수 있어요.

그럼 아래 연습 문제를 풀어보면서, 배운 것을 정리해보겠습니다.

[문제] 다음에 나오는 수의 약수의 개수를 구해보세요.

96

120
256

정답은 아래에 있습니다.

소인수분해 문제를 풀면서,

궁금한 점이나 설명이 필요한 문제가 있으면 댓글 남겨 주세요.

안녕하세요?

가장 많이 나오는 문제 : "다음을 소인수분해 하세요." 를 연습해볼까요?

이 문제를 여러분은 어떻게 푸시나요?

일반적으로는 2, 3, 5, 7과 같은 소수로 나누어보면서 시행 착오를 통해 소인수분해를 하게 됩니다.

또는 약수/배수 계산을 많이 해보신 분들은 아래와 같은 규칙을 적용할 수도 있습니다.

2의 배수 : 0, 2, 4, 6, 8 로 끝나는 수 (또는 일의 자리수가 0, 2, 4, 6, 8인 수, 쉽게 말해 짝수)

3의 배수 : 각 자리 수의 합이 3의 배수인 수 (예를 들어, 111 은 1+1+1=3이므로 3의 배수)

5의 배수 : 0, 5 로 끝나는 수 (또는 일의 자리수가 0, 5인 수)

그런데 37, 67, 79, 97 처럼 큰 소수가 나오면 막막함을 느끼는 경우가 있을거에요.

도대체 얼마나 큰 소수까지 시도해봐야 하는지... 계산하려면 막막하지요?

그럼 유용한 꿀팁을 하나 알려드리겠습니다.
소인수분해 하려는 수가 2, 3, 5, 7로 나누어 떨어지지 않고,

121보다 작다면 그 수는 소수입니다. (단, 2, 3, 5, 7은 소수이니 제외)

예를 들어볼까요?
앞서 얘기한 37, 67, 79, 97 는 2, 3, 5, 7로 나누어 떨어지지 않고,

121보다 작은 수이므로 모두 소수들입니다.

왜 121보다 작은 수 중 2, 3, 5, 7로 나누어 떨어지지 않는 수는 소수가 되는걸까요?

조금 복잡한 이야기가 될 수 있지만, 좀 더 잘 이해하기 위해서 설명을 시작해보겠습니다.

읽다가 머리가 아프시면 그림만 보고 넘어가셔도 됩니다.

어떤 수의 약수는 아래의 4가지 패턴을 가집니다.

1) 약수가 2개인 수 (1과 자기 자신을 약수로 가지는 수) : 소수

2) 약수가 3개인 수 (1과 소수, 소수를 제곱한 수 = 자기 자신) : 소수의 제곱수

3) 약수 개수가 (4개 이상) 짝수 (큰 수와 작은 수가 쌍을 이루는 수) : 제곱수가 아닌 합성수

4) 약수 개수가 (5개 이상) 홀수 (큰 수와 작은 수가 쌍을 이루며, 소수를 포함하는 수) : 합성수의 제곱수

[#1] 소수의 약수는 정의에 의해 약수가 2개이니 여기서 설명은 생략하겠습니다.

(소수의 정의는 지난 번 글을 참조하세요)

[#2] 25의 약수

25 = 1 × 25 = 5 × 5

25는 소수 5의 제곱수이기 때문에, 1과 자기 자신만 쌍을 이루게 됩니다.

소수 5는 제곱수를 만들기 위해 셀프 악수를 하고 있네요.

[#3] 24의 약수

24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6

위의 그림처럼, 24의 약수는 작은 수와 큰 수가 서로 손을 잡고 쌍을 이루고 있습니다. (약수의 개수가 짝수)

[#4] 16의 약수

16 = 1 × 16 = 2 × 8 = 4 × 4

16은 4의 제곱수이기 때문에, 4를 제외한 수가 쌍을 이룹니다.

(4가 셀프 악수를 하고 있는게 보이시죠?)

어떤 패턴인지 파악이 되셨으면, 앞의 설명드린 팁으로 다시 돌아가 보겠습니다.

어떤 수가 2, 3, 5, 7을 약수로 가지지 않는다고 하면, 제곱수나 쌍을 이루는 수가 없습니다.

그럼 그 다음 소수인 11을 약수로 가진다고 가정해보겠습니다.

11을 약수로 가지는 가장 작은 수는 11로 소수이고,

그 다음 큰 수는 121 (제곱수) 가 되므로,

따라서 121보다 작은 수 중 2, 3, 5, 7로 나누어지지 않는 수는 모두 소수라고 할 수 있겠습니다.

(단, 2, 3, 5, 7은 제외)

그림으로 설명해보면 아래와 같이 그릴 수 있겠네요.

이해가 되셨으면 아래 문제를 풀어보시고, 여러분만의 꿀팁을 만들어보시겠어요?

어떤 수를 2, 3, 5, 7, 11 까지 나누어보았는데 나누어 떨어지지 않았습니다.

어떤 수가 몇보다 작으면 소수라고 할 수 있을까요?

정답은 아래에 있습니다.

내용이 어렵지는 않았나요?

혹시 궁금한 점이 있어서 답글로 문의를 주시면, 좀 더 자세히 설명드리겠습니다.

다음 글에서는 약수의 개수를 구하는 방법에 대해서 준비해볼께요.